Ringkasan Materi TRANSFORMASI GEOMETRI Matematika Wajib Semester 2 Kelas 11 XI SMA/MA SMK/MAK

Materi Transformasi Geomatri masuk ke dalam kelompok matematika wajib kelas 11 XI SMA/MA SMK/MAK semester 2. Pada buku paket Matematika Kurikulum 2013 yang diterbitkan oleh Kemendikbud tahun 2017 edisi revisi 2017 materi Transformasi masuk ke dalam BAB IV. 

Berikut daftar isi dari materi BAB IV Transformasi Geometri matematika wajib kelas 11 XI SMA/MA SMK/MAK kurikulum 2013.

 

BAB IV TRANSFORMASI

A. Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar

B. Diagram Alir

C. Materi Pembelajaran

4.1 Menemukan Konsep Translasi [Pergeseran]      

4.2 Menemukan Konsep Refleksi [Pencerminan]

Uji Kompetensi 4.1 

4.3 Menemukan Konsep Rotasi [Perputaran]

4.4 Menemukan Konsep Dilatasi [Perkalian] 

Uji Kompetensi 4.2 

4.5 Komposisi Transformasi

Uji Kompetensi 4.3 

 

Dan berikut ini Fastest-Math Berikan ringkasan/rangkuman materi Transformasi Geometri beserta rumus-rumus/kaidah-kaidah penting yang dipakai dalam menyelesaikan soal-soal Transformasi. [Untuk dapat mengakses halaman ini secara penuh silahkan gunakan pc atau hp mode landscape]

 

TRANSFORMASI GEOMETRI

A. Jenis-jenis Transformasi

TRANSLASI [Pergeseran]

Nama Transformasi	Perhitungan menentukan bayangan titik $A(x,y)$ oleh suatu transformasi	Hasil bayangan dari titik A adalah $A’(x’,y’)$	Matriks transformasi yang bersesuaian
Translasi searah sumbu X sejauh a dan searah sumbu Y sejauh b	$\begin{pmatrix} {x}'\\ {y}' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} {x}'\\ {y}' \end{pmatrix}$	${x}'=a+x$ ${y}'=b+y$	$\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}$
Transformasi yang bersesuaian dengan $\begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}$	$\begin{pmatrix} {x}'\\ {y}' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}$	${x}'=ax+by$ ${y}'=cx+dy$	$\begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}$

REFLEKSI [Pencerminan]

Nama Transformasi	Perhitungan menentukan bayangan titik $A(x,y)$ oleh suatu transformasi	Hasil bayangan dari titik A adalah $A’(x’,y’)$	Matriks transformasi yang bersesuaian
Refleksi terhadap: a. Sumbu X [garis y = 0]	$\begin{pmatrix} {x}'\\ {y}' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}$	${x}'=x$ ${y}'=-y$	$\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}$
b. Garis y = b	$\begin{pmatrix} {x}'\\ {y}'-b \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y-b \end{pmatrix}$	${x}'=x$ ${y}'=2b-y$
c. Sumbu Y [garis x = ]	$\begin{pmatrix} {x}'\\ {y}' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}$	${x}'=-x$ ${y}'=y$	$\begin{pmatrix} -1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
d. Garis x = a	$\begin{pmatrix} {x}'-a\\ {y}' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x-a\\ y \end{pmatrix}$	${x}'=2a-x$ ${y}'=y$
e. Garis y = x	$\begin{pmatrix} {x}'\\ {y}' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}$	${x}'=y$ ${y}'=x$	$\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}$
f. Garis y = -x	$\begin{pmatrix} {x}'\\ {y}' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & -1\\ -1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}$	${x}'=-y$ ${y}'=-x$	$\begin{pmatrix} 0 & -1\\ -1 & 0 \end{pmatrix}$
g. Titik $O(0,0)$	$\begin{pmatrix} {x}'\\ {y}' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}$	${x}'=-x$ ${y}'=-y$	$\begin{pmatrix} -1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}$
h. Titik $P(a,b)$	$\begin{pmatrix} {x}'-a\\ {y}'-b \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x-a\\ y-b \end{pmatrix}$	${x}'=2a-x$ ${y}'=2b-y$
i. Garis y = mx	$\begin{pmatrix} {x}'\\ {y}' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{1-m^{2}}{1+m^{2}} & \frac{2m}{1+m^{2}}\\ \frac{2m}{1+m^{2}} & -\frac{1-m^{2}}{1+m^{2}} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}$	${x}'=...$ ${y}'=...$	$\begin{pmatrix} \frac{1-m^{2}}{1+m^{2}} & \frac{2m}{1+m^{2}}\\ \frac{2m}{1+m^{2}} & -\frac{1-m^{2}}{1+m^{2}} \end{pmatrix}$
j. Garis y = mx + n	$\begin{pmatrix} {x}'\\ {y}'-n \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{1-m^{2}}{1+m^{2}} & \frac{2m}{1+m^{2}}\\ \frac{2m}{1+m^{2}} & -\frac{1-m^{2}}{1+m^{2}} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y-n \end{pmatrix}$	${x}'=...$ ${y}'=...$

ROTASI [Perputaran]

Nama Transformasi	Perhitungan menentukan bayangan titik $A(x,y)$ oleh suatu transformasi	Hasil bayangan dari titik A adalah $A’(x’,y’)$	Matriks transformasi yang bersesuaian
a. Rotasi dengan pusat $O(0,0)$ sejauh $\alpha$	$\begin{pmatrix} {x}'\\ {y}' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}$	${x}'=...$ ${y}'=...$	$\begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix}$
b. Rotasi dengan pusat $P(a,b)$ sejauh $\alpha$	$\begin{pmatrix} {x}'-a\\ {y}'-b \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x-a\\ y-b \end{pmatrix}$	${x}'=...$ ${y}'=...$

DILATASI [Perkalian]

Nama Transformasi	Perhitungan menentukan bayangan titik $A(x,y)$ oleh suatu transformasi	Hasil bayangan dari titik A adalah $A’(x’,y’)$	Matriks transformasi yang bersesuaian
a. Dilatasi pusat $O(0,0)$ dan faktor skala $k$	$\begin{pmatrix} {x}'\\ {y}' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} k & 0\\ 0 & k \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}$	${x}'=kx$ ${y}'=ky$	$\begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix}$
b. Dilatasi pusat $P(a,b)$ dan faktor skala $k$	$\begin{pmatrix} {x}'-a\\ {y}'-b \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x-a\\ y-b \end{pmatrix}$	${x}'-a=k(x-a)$ ${y}'-b=k(y-b)$

Latihan 1  

Soal latihan dan pembahasan akan diupdate selanjutnya

 

B. Menentukan bayangan kurva $y=f(x)$

Langkah-langkahnya : 

1. Dari rumus bayangan titik nyatakanlah x dan y dalam x’ atau y’ 

Bila $\begin{pmatrix} {x}'\\ {y}' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}$ maka $\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} {x}'\\ {y}' \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} {x}'\\ {y}' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}$ maka $\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}= \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}\begin{pmatrix} {x}'\\ {y}' \end{pmatrix}$

2. Substitusikan $x$ dan $y$ ke $y=f(x)$ kemudian hilangkan tanda aksen

Latihan 2

Soal latihan dan pembahasan akan diupdate selanjutnya

 

C. Komposisi Transformasi 

1.  Translasi $T_{1}=\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}$ dilanjutkan $T_{2}=\begin{pmatrix} c\\ d \end{pmatrix}$ ditulis $T_{2}\circ T_{1}=\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} c\\ d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a+c\\ b+d \end{pmatrix}$

2. Transformasi yang bersesuaian dengan $M_{1}=\begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}$ dilanjutkan transformasi yang bersesuaian dengan $M_{2}=\begin{pmatrix} p & q\\ r & s \end{pmatrix}$ ditulis $M_{2}\circ M_{1}=\begin{pmatrix} p & q\\ r & s \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}$

3. Rotasi dengan Pusat $P$ sejauh $\alpha$ dilanjutkan rotasi dengan pusat $P$ sejauh $\beta$ = Rotasi dengan pusat $P$ sejauh $(\alpha+\beta$) ;

4. Refleksi terhadap garis $y=\tan \alpha x+n$ [gradiennya $\tan \alpha$] dilanjutkan refleksi terhadap garis $y=\tan \beta x+k$ [gradiennya $\tan \beta$] = Rotasi dengan pusat perpotongan antara dua  garis tersebut dan sejauh $2(\alpha +\beta )$
 

5. Bangun datar dengan luas $L$ ditransformasikan oleh matriks $\begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}$ maka luas bayangannya adalah $L’=(ad–bc).L$

 

Latihan 3

Soal latihan dan pembahasan akan diupdate selanjutnya