Ringkasan Materi KEKONGRUENAN dan KESEBANGUNAN Matematika SMP Kelas 9 Kurikulum 2013 + Pembahasan Soal

KEKONGRUENAN DAN KESEBANGUNAN

4.1 Kekongruenan Bangun Datar

Materi Esensi 4.1 Syarat Dua Bangun Datar Kongruen

Dua bangun yang mempunyai bentuk dan ukuran yang sama dinamakan kongruen. Dua bangun segi banyak [poligon] dikatakan kongruen jika memenuhi dua syarat, yaitu:

[i] sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang, dan

[ii] sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.

Sudut-sudut yang bersesuaian:

∠A dan ∠J → m∠A = m∠J

∠B dan ∠K → m∠B = m∠K

∠C dan ∠L → m∠C = m∠L

∠D dan ∠M → m∠D = m∠M

Sisi-sisi yang bersesuaian:

AB dan JK → AB = JK

BC dan KL → BC = KL

CD dan LM → CD = LM

DA dan MJ → DA = MJ

Jika bangun ABCD dan JKLM memenuhi kedua syarat tersebut, maka bangun ABCD dan JKLM kongruen, dinotasikan dengan ABCD ≅ JKLM. Jika bangun ABCD dan JKLM tidak memenuhi kedua syarat tersebut maka bangun ABCD dan JKLM tidak kongruen, dinotasikan dengan ABCD ≅ JKLM.

Catatan:

Ketika menyatakan dua bangun kongruen sebaiknya dinyatakan berdasarkan titik-titik sudut yang bersesuaian dan berurutan, contohnya:

Contoh 1: Menentukan Sisi-sisi dan Sudut-sudut yang Bersesuaian

Segi empat ABCD dan WXYZ pada gambar di bawah kongruen. Sebutkan sisi-sisi dan sudut-sudut yang bersesuaian.

Alternatif Penyelesaian:

Sisi-sisi yang bersesuaian: Sudut-sudut yang bersesuaian:

AB dan WX ∠A dan ∠W

BC dan XY ∠B dan ∠X

CD dan YZ ∠C dan ∠Y

DA dan ZW ∠D dan ∠Z

Contoh 2: Mengidentifikasi Dua Bangun Kongruen

Manakah persegi di atas yang kongruen? Jelaskan.

Alternatif Penyelesaian:

Dua bangun dikatakan kongruen jika memenuhi dua syarat, yaitu:

[i] sudut-sudut yang bersesuaian sama besar

Setiap persegi mempunyai empat sudut siku-siku, sehingga sudut-sudut yang bersesuaian pada persegi [a], [b] dan [c] besarnya pasti sama.

[ii] sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang

Persegi [a] dan persegi [b]

Panjang setiap sisi persegi [a] adalah 8 cm. Panjang setiap sisi persegi [b] adalah 9 cm. Jadi, sisi-sisi yang bersesuaian persegi [a] dan [b] tidak sama panjang.

Persegi [b] dan persegi [c]

Panjang setiap sisi persegi [b] adalah 9 cm. Panjang setiap sisi persegi [c] adalah 8 cm. Jadi, sisi-sisi yang bersesuaian persegi [b] dan [c] tidak sama panjang.

Persegi [a] dan persegi [c]

Panjang setiap sisi persegi [a] adalah 8 cm. Panjang setiap sisi persegi [c] adalah 8 cm. Jadi, sisi-sisi yang bersesuaian persegi [a] dan [c] sama panjang.

Berdasarkan [i] dan [ii] di atas, maka persegi yang kongruen adalah persegi [a] dan [c].

Contoh 3 : Menentukan Panjang Sisi dan Besar Sudut yang Belum Diketahui

Perhatikan gambar trapesium ABCD dan PQRS yang kongruen di bawah ini.

a. Jika panjang sisi AB = 40 cm, BC = 21 cm, RS = 16 cm, dan PS = 15 cm, tentukan panjang sisi AD, DC, PQ, dan QR.

b. Jika besar ∠A = 60⁰, ∠B = 40⁰. Berapakah besar ∠R dan ∠S? [selanjutnya, besar ∠A ditulis dengan m∠A, seperti yang sudah kamu kenal di kelas 7 dan 8]

PEMBAHASAN MATERI 4.1 DAN SOAL DISINI

4.2 Kekongruenan Dua Segitiga

Materi Esensi 4.2 : Syarat Dua Segitiga Kongruen

Dua bangun yang mempunyai bentuk dan ukuran yang sama dinamakan kongruen. Dua segitiga dikatakan kongruen jika hanya jika memenuhi syarat berikut ini:

[i] sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang

[ii] sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.

Untuk menguji apakah dua segitiga kongruen atau tidak, tidak perlu menguji semua pasangan sisi dan sudut yang bersesuaian. Dua segitiga dikatakan kongruen jika memenuhi salah satu kondisi berikut ini:

1. Ketiga pasangan sisi yang bersesuaian sama panjang. Biasa disebut dengan kriteria: sisi – sisi – sisi.

2. Dua pasang sisi yang bersesuaian sama panjang dan sudut yang diapitnya sama besar. Biasa disebut dengan kriteria: sisi – sudut – sisi.

3. Dua pasang sudut yang bersesuaian sama besar dan sisi yang menghubungkan kedua sudut tersebut sama panjang. Biasa disebut dengan kriteria: sudut – sisi – sudut.

4. Dua pasang sudut yang bersesuaian sama besar dan sepasang sisi yang bersesuaian sama panjang. Biasa disebut dengan kriteria: sudut – sudut – sisi.

5. Khusus untuk segitiga siku-siku, sisi miring dan satu sisi siku yang bersesuaian sama panjang.

Contoh 1 : Membuktikan Dua Segitiga Kongruen

Latihan 4.2 Kekongruenan Dua Segitiga

Selesaikan soal-soal berikut ini dengan benar dan sistematis.

1. Perhatikan gambar di bawah ini!

Tunjukkan bahwa ΔPQS dan ΔRQS kongruen.

2. Perhatikan gambar di bawah ini!

Panjang AB = DE dan AB//DE. Tunjukkan bahwa ΔABC dan ΔEDC kongruen.

3. Titik C adalah titik pusat lingkaran.

Tunjukkan bahwa dua segitiga pada gambar di atas adalah kongruen.

4. Bangun WXYZ adalah segi empat dengan sisi-sisi yang berhadapan panjangnya sama. XZ adalah salah satu diagonalnya.

a. Tunjukkan bahwa ΔWXZ ≅ ΔZYX.

b. Tunjukkan bahwa WXYZ adalah jajargenjang.

5. Perhatikan gambar di bawah ini.

Titik O adalah pusat lingkaran dalam dan lingkaran luar. AB adalah garis singgung dan titik P adalah titik singgung pada lingkaran kecil. Dengan menggunakan kekongruenan segitiga, tunjukkan bahwa titik P adalah titik tengah AB.

6. Perhatikan gambar di bawah ini.

Ada segitiga ABC, BM tegak lurus dengan AC, CN tegak lurus dengan AB. Panjang BM = CN. Tunjukkan bahwa ΔBCM ≅ ΔCBN

7. Perhatikan gambar di bawah ini.

Titik M adalah titik tengah QR. Garis XM dan YM masing-masing tegak lurus pada PQ dan PR. Panjang XM = YM. Buktikan bahwa ΔQMX ≅ ΔRMY.

8. Menalar

Diketahui SR//PQ, OP = OQ, OS = OR. Ada berapa pasang segitiga yang kongruen? Sebutkan dan buktikan.

9. Berpikir Kritis

Apakah dua segitiga yang mempunyai tiga pasang sudut-sudut yang bersesuaian sama besar pasti kongruen? Jelaskan dengan alasan yang mendukung jawabanmu.

10. Berpikir Kritis

Apakah dua segitiga yang mempunyai dua pasang sisi yang bersesuaian sama panjang dan sepasang sudut yang bersesuaian sama besar pasti kongruen? Jelaskan dengan alasan yang mendukung jawabanmu.

11. Membagi Sudut Gambarlah sebuah sudut dan beri nama ∠ABC, kemudian lakukan langkah berikut.

a. Dengan menggunakan jangka, bagilah ∠ABC tersebut menjadi dua sama besar.

b. Gambarlah lagi ∠ABC yang sama, kemudian tanpa menggunakan jangka maupun busur derajat, bagilah ∠ABC tersebut menjadi dua sama besar. [petunjuk: gunakan konsep segitiga kongruen]

12. Mengukur Panjang Danau

Chan ingin mengukur panjang sebuah danau tetapi tidak memungkinkan mengukurnya secara langsung. Dia merencanakan suatu cara yaitu ia memilih titik P, Q, R dan mengukur jarak QP dan RP [lihat ilustrasi gambar]. Kemudian memperpanjang QP menuju ke Q'dan RP menuju ke R' sehingga panjang QP = PQ' dan RP = PR'. Chan menyimpulkan bahwa dengan mengukur panjang Q'R' dia mendapatkan panjang danau tersebut. Apakah menurutmu strategi Chan benar? Jelaskan.

PEMBAHASAN MATERI 4.2 DAN SOAL DISINI

4.3 Kesebangunan Bangun Datar

Materi Esensi 4.3 Kesebangunan Bangun Datar

Dua bangun datar yang mempunyai bentuk yang sama disebut sebangun. Tidak perlu ukurannya sama, tetapi sisi-sisi yang bersesuaian sebanding [proportional] dan sudut-sudut yang bersesuaian sama besar. Perubahan bangun satu menjadi bangun lain yang sebangun melibatkan perbesaran atau pengecilan.

Dengan kata lain dua bangun dikatakan sebangun jika memenuhi syarat:

[i] perbandingan panjang sisi yang bersesuaian senilai

[ii] sudut yang bersesuaian besarnya sama

Latihan 4.3 Kesebangunan Bangun Datar

Dalam proses

4.4 Kesebangunan Dua Segitiga

Materi Esensi 4.4 Kesebangunan Dua Segitiga

Dua segitiga dikatakan sebangun jika hanya jika memenuhi syarat berikut ini.

[i] Perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian senilai.

[ii] Besar sudut-sudut yang bersesuaian sama.

Latihan 4.4 Kesebangunan Dua Segitiga