Ringkasan Materi Turunan Fungsi Aljabar [DIFERENSIAL] Contoh Soal dan Pembahasan Matematika SMA

Diferensial/ Turunan Fungsi Aljabar adalah materi matematika kelas 11 XI SMA/SMK. Materi dasar dan soal-soal ini bisa dijadikan sebagai bahan referensi belajar dalam menghadapi tes/ujian/ulangan/ penilaian harian UH/PH. Selain itu materi ini juga bisa dijadikan sebagai bahan refrensi belajar dalam menghadapi soal-soal UTS/PTS UAS/PAS UKK/PAT USBN UN UTBK SBMPTN SNMPTN dan lainnya.

 

Berikut ini adalah ringkasan/ rangkuman materi Turunan Fungsi Aljabar [Diferensial] matematika wajib kelas 11 SMA/MA/SMK. 

 

DIFERENSIAL/ TURUNAN FUNGSI ALJABAR

A. Pengertian Turunan dari fungsi $y=f(x)$

Laju rata-rata perubahan  fungsi dalam interval antara $x=a$ dan $x=a+h$ adalah : 

$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(a+h)-f(a)}{(a+h)-a}=\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ 

dengan syarat :  a di dalam domain $f(x)$

Laju sesaat perubahan $f(x)$ pada $a=x$  atau limit dari laju rata-rata perubahan  fungsi antara $x=a$ dan $x=a+h$ saat h mendekati 0 adalah:

$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

disebut dengan turunan $f(x)$ pada $x=a$

Sehingga turunan fungsi $f(x)$ pada sembarang titik $x$ adalah:

$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ 

 

 

Notasi Turunan. 

Nilai dari turunan adalah fungsi dari x yang ditunjukan oleh simbol-simbol: 

$D_{x}y=\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}y={y}'={f}'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=turunan\,  pertama$ 

Sedangkan Nilai turunan $f(x)$ pada titik tertentu $a$ adalah :

${f}'(a)$ atau $\frac{dy}{dx}\mid _{x=a}$

 

Sebuah fungsi dikatakan diferensiabel [dapat didiferensiasikan] pada $x=a$ jika turunan fungsi itu ada [terdefinisi] pada titik tersebut. 

 

Contoh:  

Dengan menggunakan  definisi turunan,  tentukan turunan dari fungsi $f(x)=\sqrt{x}$

Jawab: 

${f}'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

$=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}\cdot \frac{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}$

$=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{(x+h)-x}{h\left ( \sqrt{x+h}+\sqrt{x} \right )}$

$=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{h}{h\left ( \sqrt{x+h}+\sqrt{x} \right )}$

$=\frac{1}{ \sqrt{x}+\sqrt{x}}$ 

$=\frac{1}{ 2\sqrt{x}}$ 

${f}'(x)=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$

Pembahasan materi dan soal-soal tentang materi Diferensial/ Turunan Fungsi Aljabar bisa dilihat pada link di bawah ini.

Ringkasan Materi dan Pembahasan Soal-soal Ada Disini

 

B. Aturan-aturan dari turunan [rumus- rumus]

Jika $U$ dan $V$ adalah fungsi dalam $x$, sedangkan $a$ dan $n$ adalah konstanta, maka dari definisi turunan diperoleh rumus sebagai berikut:

1.  $y=a\, (konstanta)\rightarrow {y}'=0$ 

2.  $y=ax\:\:\rightarrow {y}'=a$ 

3.  $y=ax^{n}\:\:\rightarrow {y}'=anx^{n-1}$ 

4.  $y=U\pm V \: \:  \rightarrow {y}'={U}'\pm {V}'$

5.  $y=a(U)^{n} \: \:  \rightarrow {y}'=a(U)^{n-1}.{U}'$

6.  $y=U\times V \: \:  \rightarrow {y}'={U}'.V+U.{V}'$

7.  $y=U. V.W \: \:  \rightarrow {y}'={U}'.V.W+U.{V}'.W+U.V.{W}'$

8.  $y=\frac{U}{V} \: \:  \rightarrow {y}'=\frac{{U}'.V+U.{V}'}{V^{2}}$

9.  $y=f(u)\, dan\, u=g(x) \: \:  \rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}$

10.  $y=f(u),\, u=g(v),\, dan\, v=h(x) \: \:  \rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dv}\cdot \frac{dv}{dx}$

11. $y=(f\circ g )(x)=f(g(x)) \: \:  \rightarrow {y}'={f}'(g(x)).{g}'(x)$

Langkah-langkah penyelesaian turunan: 

👉 Perhatikan Soal apakah soal perlu disederhanakan atau dijabarkan 

👉 Perhatikan bentuknya : apakah perkalian fungsi, pembagian fungsi, turunan berantai, atau komposisi fungsi.

👉 Gunakan rumus yang sesuai dengan soal.

Ringkasan Materi dan Pembahasan Soal-soal Ada Disini